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By Steinke G. F.

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On en conclut que tout sous-groupe d’indice fini d’un groupe de type fini est lui-mˆeme de type fini. Proposition 2. – Soient G un groupe, et Z son centre, qui est suppos´e d’indice n = [G : Z] fini. Alors le groupe des commutateurs (G, G) = G′ est fini. Les commutateurs (x, y) sont d´efinis par (x, y) = xyx−1 y −1 ; le groupe G est engendr´e par les ´el´ements (x, y) pour x, y ∈ G. Les identit´es ′ (2) (x, yy ′ ) = (x, y)(y, (x, y ′ ))(x, y ′ ) (xx′ , y) = (x, (x′ , y))(x′ , y)(x, y) montrent que (x, y) ne d´epend que des classes de x et de y modulo Z ; G′ est donc de type fini.

Puisque y → xy et y → yx sont des morphismes, l’unique composante irr´eductible de H contenant un x ∈ H est xH0 = H0 x, ce qui prouve que H0 est un sous-groupe invariant d’indice fini. Si H ′ est un sous-groupe ferm´e, irr´eductible et d’indice fini de H, on a H ′ ⊂ H0 , [H0 : H ′ ] < ∞ ; comme H0 est irr´eductible et est la r´eunion de ses classes modulo H ′ , on a H ′ = H0 . Nous dirons d´esormais que H0 est la composante neutre de H. Les sousgroupes ferm´es d’indice fini de H sont les sous-groupes qui contiennent H0 .

Pour tout i, l’ensemble des aba−1 b−1 (avec a ∈ A, b ∈ Bi ) est ´epais, comme image de A × Bi par un morphisme ; de plus, il contient e (faire a = e). Nous sommes donc dans les conditions d’application du th´eor`eme 2, et le groupe (A, B) est ferm´e connexe. Dans le cas g´en´eral, soient A0 et B0 les composantes neutres de A et B respectivement. Nous venons de voir que (A0 , B) et (A, B0 ) sont ferm´es connexes. Il en est de mˆeme de leur produit (A0 , B)(A, B0 ) (cor. du th. 2). Or [A : A0 ] et [B : B0 ] sont finis, et un r´esultat de R.

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by John
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