Read e-book online Analysis 2: Differentialrechnung im Rn, Gewöhnliche PDF

By Otto Forster

ISBN-10: 3528272317

ISBN-13: 9783528272319

ISBN-10: 366314173X

ISBN-13: 9783663141730

Der vorliegende Band stellt den zweiten Teil eines Analysis-Kurses für Studenten der Mathematik und Physik dar. Das erste Kapitel befaßt sich mit der Differentialrechnung von Funktionen mehrerer reeller Veränderlichen. Nach einer Einführung in die topalogischen Grundbegriffe werden Kurven im IRn, partielle Ableitungen, totale Differenzierbarkeit, Taylorsche Formel, Maxima und Minima, implizite Funktionen und parameterabhängige Integrale behandelt. Das zweite Kapitel gibt eine kurze Einführung in die Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen. Nach dem Beweis des allgemeinen Existenz- und Eindeutigkeitssatzes und der Besprechung der Methode der Trennung der Variablen wird besonders auf die Theorie der linearen Differentialgleichungen eingegangen. Wie im ersten Band wurde versucht, allzu große Abstraktionen zu vermeiden und die allgemeine Theorie durch viele konkrete Beispiele zu erläutern, insbesondere solche, die für die Physik proper sind. Bei der Bemessung des Stoffumfangs wurde berücksichtigt, daß die research 2 meist in einem Sommersemester gelesen wird, in dem weniger Zeit zur Verfugung steht als in einem Wintersemester. Wegen der Kürze des Sommersemesters ist nach meiner Meinung eine befriedigende Behandlung der mehrdimensionalen Integration im 2. Semester nicht möglich, die besser dem three. Semester vorbehalten bleibt. Dies Buch ist entstanden aus der Ausarbeitung einer Vorlesung, die ich im Sommer­ semester 1971 an der Universität Regensburg gehalten habe. Die damalige Vor­ lesungs-Ausarbeitung wurde von Herrn R. Schimpl angefertigt, dem ich hierfür meinen Dank sage.

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5) Bemerkung. Eine Kurve f : I - IRn braucht nicht notwendig eine injektive Abbildung darzustellen. Gilt f(t 1) =f(h) = : x für t 1 -:1= t 2 , so heißt x Doppelpunkt der Kurve f. a. verschiedene Tangentialvektoren. Als Beispiel betrachten wir etwa die Kurve f: IR ... IR 2 , f(t):=(tl-1, t 3 -t). Es gilt, wie man sich leicht überzeugt, f(IR) = {(x, y) E IR 2 : y 2 = x 2 + x 3 }, vgl. Bild 7. Die Kurve hat einen Doppelpunkt für die Parameterwerte t = ± 1, denn es gilt f(- 1) = f(l) = (0, 0) . Da f' (t) = (2t, 3tl- 1), errechnet man ftir die beiden Tangenten im Doppelpunkt f'(-1) = (-2, 2), f'(l) = (2, 2).

IR eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. 4) gilt grad f(r) = f'(r)~, r = llxll. 43 § 5. h . lf(r) = f" (r) + n ~ 1 f' (r). Daraus ergibt sich insbesondere Ll 1 r n-2 =0, ftir n = 2 . 9) Wir wollen zeigen, daß die Funktion F: (IR 3 \0) X IR .... - -12 - c 2 , F(x t) ) = 0 im dreidimensionalen Raum ist. lF = ( ~ + ~ ~) cos(r- ct) r ar 2 r ar Nun ist a cos(r- ct) r ar a2 cos(r-ct) -ar2 r also Ll cos(r- ct) r cos(r-ct) sin(r-ct) r =- =- cos(r-ct) sin(r-ct) cos(r-ct) + 2 ---'-="--'-+2 ' r3 r2 r cos(r- ct) r · Andererseits ist a2 cos(r-ct) _ 2 cos(r-ct) , r -- c r ae woraus die Behauptung folgt.

H. alle Komponenten vi: U -IR seien partiell differenzierbar). Dann heißt die Funktion n 3v· divv := ~ - ' ~ 3x·1 i~ 1 die Divergenz des Vektorfeldes v. Bemerkung. Formal kann man die Divergenz von v als Skalarprodukt des Differentialoperators \7 mit v schreiben, . dtvv= (\7, v) = L ax·a vi. n i ~ 1 1 39 § 5. , ... ,v0 ):U-+IR 0 ein partiell differenzierbares Vektorfeld auf einer offenen Menge U C IRn. Dann gilt avi af a - (fvi) = - · vi + f · - . axi axi axi Summation über i ergibt div(fv) = (grad f, v) + f div v.

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by Steven
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